论文：SphereFace: Deep Hypersphere Embedding for Face Recognition
论文链接：https://arxiv.org/abs/1704.08063
代码地址：https://github.com/wy1iu/sphereface
这篇是CVPR2017的文章，用改进的softmax做人脸识别，改进点是提出了 angular softmax loss（A-softmax loss）用来改进原来的softmax loss。如果你了解large margin softmax loss（作者和A-softmax loss是同一批人），那么A-softmax loss简单讲就是在large margin softmax loss的基础上添加了两个限制条件||W||=1和b=0，使得预测仅取决于W和x之间的角度。
Figure2中展示的是用一个CNN网络提取特征，然后将提取到的特征在类别间的分布展示出来。（a）和（b）是softmax loss的结果；（c）和（d）是限制W1和W2向量的模等于1，而且b1和b2偏置等于0，称为modified softmax loss；（e）和（f）是本文的angular softmax loss，后面详细介绍。接下来介绍Figure2图的含义：图中特征是2维的，对应横坐标，毕竟二维的容易观察，这可以通过将最后一个提特征层（假设最后一个特征提取层是卷积层，那么就将卷积核数量设置为2）就能得到，因此对于一张输入图像，就能得到1 * 2维度的特征向量，就可以在二维坐标空间中画出来这个点了，对应Figure2（a）、（c）、（e）中的点。最后接一个全连接层，对于Figure2中的二分类而言（一个类别是黄色点，另一个类别是红色点），全连接层的维度就是2 * 2，后面一个2就是类别的意思。再看看（b），W1和W2分别是I * 2的向量，合在一起就是2 * 2的全连接层参数，因此W1和W2的箭头位置所在的坐标就是1 * 2向量的值，这样就可以画出图中的红色箭头了，至于中间的红色线，就是分类界限。同理（d）中W1和W2的模等于1，特征点之所以类似圆形是将（c）中的特征点变换成模为1的特征点；（e）、（f）的含义和（c）、（d）的含义同理。
接下来介绍A-softmax loss的内容。还是先从softmax loss开始讲起。假设一个二分类问题，那么下面的公式1和2分别表示样本x属于类别1和类别2的概率，这个计算的过程就是softmax。这里的W1和W2都是向量，二者合在一起组成全连接层的参数矩阵W，也就是W=[W1，W2]，全连接层的输出也就是Wx。假设输出的尺寸是m*n，那么m就表示batch size，n表示类别数，所以这里的W1x和W2x就分别是Wx的两列。偏置b比较简单就不详细说了。因此如果p1大于p2，那么x属于类别1。
这个时候可以联想到文章前面提到的一个公式：
文章说这是softmax的decision boundary，怎么理解呢？其实就是p1=p2的情况，此时W1x+b1=W2x+b2。如果p1>p2，从p1和p2的公式可以看出二者的分母是一样的，分子都是以e为底的指数函数，是递增的，因此就相当于W1x+b1>W2x+b2。
公式1和2只是softmax，并不是softmax loss，这两者是有差别的，一个是概率，一个是损失。softmax loss的公式如下：
公式3的log函数的输入就是前面公式1和2的p1和p2，只不过不需要分开写成W1和W2，而是用W就行。这里yi表示某个类别，j表示所有类别。
公式4是将Li展开来写，并且引入了角度参数：
为什么公式4的上下两个等式是成立的？因为可以将矩阵相乘：
写成：
非常容易理解吧。
那么如果引入下面这两个限制条件呢？
和
那么公式3（结合公式4和上面两个限制条件看）就会变成：
那么为什么要引入这两个限制条件呢？原来的decision boundary是这样的：
如果有上面的两个限制条件，那么decision boundary就变成了：
也就是说边界的确定变成只取决于角度了，这样就能简化很多问题。而且从Figure2也可以看出这种操作对分类结果有促进作用。
在这两个限制条件的基础上，作者又添加了和large margin softmax loss一样的角度参数，使得公式5变成如下的公式6：
这部分可以参考损失函数改进之Large-Margin Softmax Loss，基本一样。显然m值越大，优化的难度也越大，但类别之间的angular margin也越大，也就是类间距离越大，同时类内距离越小，因此模型效果越好。本文中参数m默认取4。
因为在公式6中需要限定θy的范围为[0, π/m]，因此为了去掉这个限制，就有了公式7这种能够在CNN网络中优化的公式。
公式7也就是作者文中最终使用的loss公式。因此A-softmax loss可以看成是large margin softmax loss的改进版，也就是在large margin softmax loss的基础上添加了两个限制条件。
Table1是关于本文提到的3个loss的分类界限（decision boundary）对比，可以看出softmax loss的优化是对W和x的内积进行的；modified softmax loss（也就是限制Wi的模为1，bi为0）的优化是对角度θi进行的；A-softmax loss的优化也是对θi进行，而且优化目标更加难（引入m参数，优化后在类别之间会得到angular margin）。
Figure3表示从几何角度看A-softmax loss。
后面作者还通过数学公式证明了对于二分类，m的最小值要满足下面这个不等式：
对于多分类，m的最小值要满足下面这个不等式：
参考资料
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