模型总览
AutoEncoder
在说VAE之前，先来看一下它的前身AutoEncoder(AE)。
AE是非常知名的自编码器，它通过自监督的训练方式，能够从原始特征获得一个潜在的特征编码，实现了自动化的特征工程，并且达到了降维和泛化的目的。
它的网络结构很简单，有编码和解码两个部分组成：
容易看出，之所以是自监督就是因为网络的target即是input本身，因此不需要额外的标签工作，虽然它由编码器和解码器两个部分组成，但是，显然从自编码器这个名字就可以看出，AE的重点在于编码，即得到这个隐藏层的向量，作为input的潜在特征，这是常见的一种embedding的一种方式。而解码的结果，基于训练目标，如果损失足够小的话，将会与input相同，从这一点上看解码的值没有任何实际意义，除了通过增加误差来补充平滑一些初始的零值或有些许用处。因为，从输入到输出的整个过程，都是基于已有的训练数据的映射，尽管隐藏层的维度通常比输入层小很多，但隐藏层的概率分布依然只取决于训练数据的分布，这就导致隐藏状态空间的分布并不是连续的，于是如果我们随机生成隐藏层的状态，那么它经过解码将很可能不再具备输入特征的特点，因此想通过解码器来生成数据就有点强模型所难了。
Variational AutoEncoder
正是因为以上的这些原因，有大佬就对AE的隐藏层做了些改动，得到了VAE。
VAE将经过神经网络编码后的隐藏层假设为一个标准的高斯分布，然后再从这个分布中采样一个特征，再用这个特征进行解码，期望得到与原始输入相同的结果，损失和AE几乎一样，只是增加编码推断分布与标准高斯分布的KL散度的正则项，显然增加这个正则项的目的就是防止模型退化成普通的AE，因为网络训练时为了尽量减小重构误差，必然使得方差逐渐被降到0，这样便不再会有随机采样噪声，也就变成了普通的AE。
没错，我们先抛开变分，它就是这么简单的一个假设… 仔细想一下，就会觉得妙不可言。
它妙就妙在它为每个输入x，生成了一个潜在概率分布 p(z|x)，然后再从分布中进行随机采样，从而得到了连续完整的潜在空间，解决了AE中无法用于生成的问题。
《论语》有言：“举一隅，不以三隅反，则不复也。” 给我的启发就是看事物应该不能只看表面，而应该了解其本质规律，从而可以灵活迁移到很多类似场景。聪明人学习当举一反三，那么聪明的神经网络，自然也不能只会怼训练数据。如果我们把原始输入看作是一个表面特征，而其潜在特征便是表面经过抽象之后的类特征，它将比表面特征更具备区分事物的能力，而VAE直接基于拟合了基于已知的潜在概率分布，可以说是进一步的掌握了事物的本质。
就拿一个人的某个行为来说，我们不能单纯看行为本身，因为这个行为往往代表了他的综合特性，他从出生开始，因为遗传，后天教育和环境，决定了他在面对某种情形的情况下，高概率会产生这个行为，也就是说掌握了概率分布，就掌控了一切。
这就好比..某个骚年A说他喜欢姑娘B，经过AE的编码得到的是A喜欢B类型的姑娘的特征，但是VAE编码之后就得到了更深入的特征：A馋B类型姑娘的身子。透过现象看本质，我想这便是VAE更胜一筹的原因。
变分自编码是怎么炼成的
读了上面的内容之后，你应该对VAE模型有了一个较为直观和感性的认知，但是可能会疑惑所谓的变分到底在哪里？
放心，变分并没有被作者吃掉，接下来，我们就从变分推断的角度，对VAE进行一个理性的推导。有了上面的基础，再读下面的内容时就会轻松愉快很多。
变分推断
变分自编码器（VAE）的想法和名字的由来便是变分推断了，那么什么是变分推断呢？
变分推断是 MCMC 搞不定场景的一种替代算法，它考虑一个贝叶斯推断问题，给定观测变量 x∈R^k 和潜变量 z∈R^d，其联合概率分布为 p(z, x) = p(z)p(x|z)，目标是计算后验分布 p(z|x)。然后我们可以假设一个变分分布 q(z) 来自分布族 Q，通过最小化 KL 散度来近似后验分布 p(z|x)：
这么一来，就成功的将一个贝叶斯推断问题转化为了一个优化问题~
变分推导过程
有了变分推断的认知，我们再回过头去看一下VAE模型的整体框架，VAE就是将AE的编码和解码过程转化为了一个贝叶斯概率模型：
我们的训练数据即为观测变量 x，假设它由不能直接观测到的潜变量 z 生成， 于是，生成观测变量过程便是似然分布：p(x|z)，也就是解码器，因而编码器自然就是后验分布：p(z|x)。
根据贝叶斯公式，建立先验、后验和似然的关系：
接下来，基于上面变分推断的思想，我们假设变分分布 q_x(z)，通过最小化 KL 散度来近似后验分布 p(z|x) ，于是，最佳的 q_x^* 便是：
因为训练数据 x 是确定的，因此 log~p(x) 是一个常数，于是上面的优化问题等价于：
此时，观察一下优化方程的形式…已经是我们前面所说的 VAE 的损失函数了
显然，跟我们希望解码准确的目标是一致的。要解码的准，则 p(z|x) 应该尽可能的小，编码特征 z 的分布 q_x(z) 同 p(z) 尽可能的接近，此时恰好 -log~p(x|z) 和 KL(q_x(z)||p(z)) 都尽可能的小，与损失的优化的目标也一致。
如何计算极值
正如前面所提到的AE潜变量的局限性，我们希望VAE的潜变量分布 p(z) 应该能满足海量的输入数据 x 并且相互独立，基于中心极限定理，以及为了方便采样，我们有理由直接假设 p(z) 是一个标准的高斯分布 N(0,1)。
编码部分
我们先来看一下编码部分，我们希望拟合一个分布 q_x(z) = N(μ, σ) 尽可能接近 p(z) = N(0, 1)，关键就在于基于输入 x 计算 μ 和 σ，直接算有点困难，于是就使用两个神经网络 f(x) 和 g(x) 来无脑拟合 μ 和 σ。
值得一提的是，很多地方实际使用的 f(x)、g(x) 两部分神经网络并不是独立的，而是有一部分交集，即他们都先通过一个 h(x) 映射到一个中间层 h，然后分别对 h 计算 f(h) 和 g(h)。这样做的好处的话一方面是可以减少参数数量，另外这样算应该会导致拟合的效果差一些，算是防止过拟合吧。
解码部分
解码，即从潜变量 z 生成数据 x 的过程，在于最大化似然 p(x|z)，那这应该是个什么分布呢？通常我们假设它是一个伯努利分布或是高斯分布。伯努利分布十分简单，熟悉的人也多，高斯分布接近大自然了，用起来又方便。
知道了分布类型，那计算 -log~p(x|z) 最小值其实只要把分布公式带进去算就可以了
高斯分布
和预期一样，演变为了均方误差。
伯努利分布
假设伯努利的二元分布是 P 和 1-P (注意这里是输出没一维组成的向量)
很对，正好就是交叉熵的损失。
然后，将编码和解码部分组合到一起，就形成了完整的VAE网络。
一点微不足道的技巧
训练的时候似乎出了点问题。从编码得到的分布 N(μ, σ) 随机采样 z 的这个过程没法求导，没法进行误差反向传播…
好在这里可以使用一个叫做重参数（reparametrisation trick）的技巧：
这样一来将采样变成了一个数值变换，整个过程便可导了
这样，训练好模型之后，我们可以直接将解码部分拿出来，通过标准高斯分布随机采样源源不断的生成数据了。
延伸的一些思考
VAE中使用神经网络来拟合高斯分布的想法独树一帜，对很多任务能带来启发。神经网络在特征化训练数据的过程无异于海量数据的管中窥豹，但是想要让模型超脱于豹，而像人一样产生对相似的猫、老虎…之类的概念，VAE的这种思想颇有一些意味。
参考资料
https://www.jianshu.com/p/ffd493e10751
Auto-Encoding Variational Bayes
Understanding Variational Autoencoders